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Martin Hairer; Hendrik Weber
Large deviations for white-noise driven, nonlinear stochastic PDEs in two and three dimensions
Annales de la faculté des sciences de Toulouse Sér. 6, 24 no. 1 (2015), p. 55-92, doi: 10.5802/afst.1442
Article PDF | Analyses MR 3325951

Résumé - Abstract

Nous étudions l’équation d’Allen-Cahn stochastique conduite par un bruit d’intensité $\sqrt{\varepsilon }$ et de longueur de corrélation $\delta $ en dimensions spatiales deux et trois. Nous considérons la limite $\delta ,\varepsilon \rightarrow 0$ et nous décrivons complètement le comportement des grandes déviations associées, suivant les relations entre $\delta $ et $\varepsilon $.

La théorie des structures de régularité récemment développée permet d’analyser le comportement des solutions à intensité de bruit $\varepsilon $ fixée dans la limite $\delta \rightarrow 0$. Un fait crucial est que, afin d’obtenir des limites non-triviales dans cette limite, il est nécessaire d’introduire des contretermes divergents. La théorie des structures de régularité permet d’analyser rigoureusement de telles procédures de renormalisation pour un nombre d’équations intéressantes.

Notre résultat principal est un principe de grandes déviations pour ces équations renormalisées. Il est alors intéressant de noter que les constantes de renormalisation divergentes disparaissent au niveau de la fonction de taux. Une conséquence de ce résultat est une condition optimale sur le comportement relatif de $\delta $ et $\varepsilon $ qui garantit l’existence d’un principe de grandes déviations également pour l’équation non-renormalisée dans certains régimes.

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