Suite à l'élaboration de la théorie de l'intégration qui porte désormais son nom, Henri Lebesgue s'attaque au tout début du XXème siècle au problème de la convergence des séries de Fourier. Il y consacre plusieurs articles, dont un publié en 1909 aux Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. Lebesgue y analyse, en langage moderne, les approximations de l'unité, obtenant plusieurs résultats de convergence uniforme des séries de Fourier, par exemple pour les fonctions satisfaisant une condition de Lipschitz ou plus généralement de Lipschitz-Dini, mais aussi des résultats de divergence : séries de Fourier d'une fonction continue ne convergeant pas partout (le premier exemple remonte à du Bois-Reymond), ou encore séries de Fourier d'une fonction continue convergeant simplement mais pas uniformément.
Les travaux de Lebesgue seront complétés plus tard par plusieurs résultats spectaculaires relatifs à la convergence des séries de Fourier, le sujet étant toujours foisonnant.
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